06.02.24 9 класс Геометрия Тема урока Уравнение окружности (переписать все в тетрадь!!! )
Учить пункт 96, Д/З №969 (б), № 970, № 971
Определение окружности
Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.
В чем ошибочность?
Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.
Дадим правильное определение окружности.
Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.
Формула расстояния между двумя точками (напоминание)
В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками  и 
 или 
Рис. 1. Расстояние между двумя точками
Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точке  радиуса  .
Рис. 2. Уравнение окружности
Выбираем произвольную точку  на этой окружности.
Если точка  принадлежит окружности с центром  и радиусом  , то  .
Тогда  и координаты точки удовлетворяют уравнению окружности
 .
Если же точка не лежит на окружности, то  и координаты точки не удовлетворяют уравнению окружности.
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке радиуса имеет вид:
.
Частный случай уравнения окружности с центром в точке  :
 .
Решение задач. Рассмотрим задачи на уравнение окружности.
Задача 1.
Начертить окружность, заданную уравнением  , указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка , радиус  .
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:
  .
Общие точки с осью х: ;  с осью у:  ; 
Задача 2.
Дано уравнение окружности:  .
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение:
Центр этой окружности точка  , радиус  .
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:
Точки пересечения с осями:
С осью х: точка  это точка касания, ее координаты 
Найдем точки пересечения с осью 
Ось  имеет уравнение  , подставив в уравнение окружности, получим уравнение относительно :
Итак, точки пересечения с осью у:  ;  .
Задача 3.
Дано уравнение окружности:  .
Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.
Решение: центр этой окружности точка  радиус 
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
 ;  .
Точки пересечения с осями:
С осью у: точка касания  .
С осью  : ось имеет уравнение  , подставляем в уравнение окружности :
Итак, точки пересечения с осью y:  ;  .
Задача 4.
Начертить окружность, заданную уравнением  , указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.
Решение:
Центр этой окружности точка  адиус  .
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Точки пересечения с осями:
С осью у: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
   и 
Точки пересечения с осью у:  
С осью х: уравнение оси подставляем в уравнение окружности:
  и 
Точки пересечения с осью х:  
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Найти длину хорды  .
Решение (рис. 8):
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Зная координаты точек и  , по формуле расстояния между точками находим длину хорды:
Найти координаты точки  – середины отрезка  .
Решение (рис. 9):
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Координаты концов отрезка известны, координаты середины отрезка определяем по формулам:
Найти площадь треугольника  .
Решение (рис. 10):
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Треугольник равносторонний,
 ;
Задача 5.
Окружность задана уравнением  .
Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек  лежат:
а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
б) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
Решение:
Центр окружности – точка  радиус 
Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.
Точка  :
 т. лежит вне круга.
Точка  :
 т. лежит на окружности.
Точка 
 т. лежит внутри круга.
Точка  :
 т.  лежит вне круга.
Задача 6.
Составить уравнение окружности с диаметром  , если 
Решение: найдем координаты центра окружности  , это координаты середины отрезка 
Найдем радиус, это половина диаметра:
 – уравнение окружности.
Заключение Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.
|